Ingin tahu seberapa cepat kemampuan menghitung kamu? Atau sekedar ingin refreshing tapi juga mengasah otak? Coba asah kemampuan menghitungmu sekaligus menghibur dengan beberapa game matematika ini. Cukup tinggal klik pada game yang akan dimainkan dan game akan loading dan dapat dimainkan. Mau coba? Klik dibawah ini :
Showing posts with label SMA Matematika. Show all posts
Showing posts with label SMA Matematika. Show all posts
INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :
ò f(x) dx = F(x) + c Þ (c = konstanta)
Integral dapat digolongkan atas :
A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)
Integral tak Tentu
1. RUMUS
FUNGSI ALJABAR
ò xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ¹ -1
FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c
sifat-sifat:
a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dx
b. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika ò f(x) dx = F(x) + c
maka ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c
Perluasan :
ò (ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
ò sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR
a. SUBSTITUSI
I = ò f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = ò f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)
b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
1. Bentuk Ö a2 - x2
misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
dx = a cos q dq
ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin2q (a cos q dq)
= a2 ò cos2q dq
= ½a2 ò (1 + cos2q) dq
= ½a2 (q + sinq cosq) + c
= ½a2 ò [arc sin x + x Öa2 - x2 ] + c
a a a
ò Ö a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x Ö a2 - x2 + c
2. Bentuk ò Öa2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tgq
dx = a/b sec2q dq
3. Bentuk ò Öb2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b secq
dx = a/b tgq sec2q
c. PARSIIL
Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.
I = ò f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = ò g(x) dx = ..... maka :
ò u du = u v - ò v du
Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI
Integral Tertentu
1. Pengertian
Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b b
2. Sifat
b b
a. ò c dx = c(x) ï = c(b - c) c = konstanta
a a
b a
b. ò f(x) dx = - ò f(x) dx c = batas ditukar
a b
a
c. ò f(x) dx = 0 c = batas sama
a
b a b
d. ò f(x) dx = ò f(x) dx + ò f(x) dx c = ( a <>
a b c
Menghitung Luas Daerah Gambar
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
| y = f(x) ³ 0 (grafik di atas sumbu-x) ; sumbu -x garis x = a ; garis x = b b Luas = ò f(x) dx = 0 a |
2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
| x = g(y) ³ 0 (grafik di kanan sumbu-y) sumbu -y ; garis y = c ; garis y = d d Luas = ò g(y) dy = 0 c |
b
3. Untuk y = f (x) <> maka ò f(x) dx < 0
a
menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :
| b b Luas = - ò f(x) dx = ê ò f(x) dx ê a a |
4. Jika y = f (x) pada interval a <> grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.
 | y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b c b |
5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
| y= f1(x) ; y=f2(x) b |
6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
| Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d d |
HAL KHUSUS
1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus:
Luas = DÖD atau Luas = a êx1 - x2 ê 3
6a2 6
Ket. :
D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak disederhanakan)
a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan.
x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.
2. Luas antara parabola dengan sumbu-x.
| Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya = 2/3 (b-a)(c) |
Menghitung Volume Benda Putar
1. Volume benda putar yang mengelilingi sumbu x
| y = f(x) ; b |
2. Volume benda putar mengelilingi sumbu y
| x = f(y) d |
3. Daerah antara dua kurva diputar mengelilingi sumbu -x
| y = f1(x) ; y = f2(x) b |
4. Daerah antar dua kurva yang berpotongan pada titik-titik dengan absis a dan b diputar mengelilingi surnbu x
| y = f1(x) ; y=f2(cx) b |
1. Panjang busur kurva y = f(x) dari a = a sampai a = b
| b S = p ò Ö 1 + (dy/dx)2 dx a |
2. Panjang busur kurva x = f(y) dari y = c sampai y = d
S = p ò Ö 1 + (dx/dy)2 dy
c Selengkapnya...
1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG
(Gradien) di titik (x1y1) pada kurva y = f(x)
| m = f`(x1) |
f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1,
Ket :
Khusus untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan)
2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI
• Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0
• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0
3. MENENTUKAN TITIK STASIONER
Fungsi y = f(x) ® Syarat stasioner f'(x) = 0
JENIS - JENISNYA
STASIONER :
MAKSIMUM
Syarat : f`(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) < face="Symbol">® Titik maksimum (xo, f(xo))
MINIMUM
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) > 0 ® Titik Minimum (xo, f(xo))
BELOK
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) = 0 ® Titik belok (xo, f(xo))
Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner
Keterangan :
1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
Langkah :
a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 ® x = xo
b. Buat garis bilangan f '(x)
c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
titik stasioner.
ket : f`(x) > 0 grafik naik
f`(x) > 0 grafik turun
2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung - ujung interval
Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu)
V(t) = Kecepatan (fungsi waktu)
a(t) = Percepatan (fungsi waktu)
t = waktu
maka V = dS/dt dan a = dV/dt
5. MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT
DALIL L'Hospital
Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ sehingga :
lim f(x) = 0 atau lim f(x) = ¥, maka
x®a g(x) 0 x®a g(x) ¥
lim f(x) = lim f`(x) = ¥, maka
x®a g(x) x®a g`(x) ¥ Selengkapnya...
Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :
dy = l i m f(x + Dx) - f(x)
dx Dx Þ 0 Dx
(Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali)
Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y`
RUMUS - RUMUS
| 1. FUNGSI ALJABAR y = xn Þ dy/dx = nxn-1 | 2. FUNGSI TRIGONOMETRI y = sin x Þ dy/dx = cos x |
1. y = c (c=konstanta) Þ dy/dx = 0
2. y = c U(x) Þ dy /dx = c . U`(x)
3. y = U(x) ± V(x) Þ dy /dx = U`(x) ± V`(x)
4. Bentuk perkalian
y = U(x) . V(x) Þ dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x)
5. Bentuk pembagian
y = U(x) Þ dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x)
V(x) dx (V(x))²
6. Bentuk rantai
y = f(U) dan U = g(x) Þ dy/dx = dy/du .du/dx
y = (ax + b)n
dy/dx = n(ax+b)n-1(a)
y = sin (ax + b)
dy/dx = (a) cos (ax+b)
y = sinn (ax + b)
dy/dx = n sinn-1(ax+b) [a cos (ax+b)]
Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan Selengkapnya...
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<<> » setara )
l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
| l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... | ¥ untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m <> |
| l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ | ¥ untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥ untuk a <> |
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial Selengkapnya...
